양자 푸리에 변환 (Quantum Fourier Transform, QFT)

양자 푸리에 변환(Quantum Fourier Transform, QFT)은 양자 컴퓨팅에서 매우 중요한 알고리즘 중 하나로, 고전적인 푸리에 변환의 양자 버전입니다. QFT는 양자 상태를 빠르게 변환하여 주파수 도메인으로 전환하는 역할을 합니다. 이는 다양한 양자 알고리즘, 특히 쇼어 알고리즘(Shor's Algorithm)에서 핵심적으로 사용됩니다. 이번 포스팅에서는 QFT의 기본 개념과 그 동작 방식을 쉽게 설명하겠습니다.

기본 개념

QFT는 $𝑁$ 개의 입력 큐비트를 가진 양자 상태를 주파수 도메인으로 변환하는 양자 알고리즘입니다. 이를 통해 입력 상태의 주기적인 성질을 효율적으로 분석할 수 있습니다. QFT는 다음과 같은 특징을 가집니다:

양자 중첩: 여러 상태를 동시에 처리할 수 있습니다.
양자 간섭: 상태의 간섭을 통해 원하는 변환을 수행합니다.

고전적인 푸리에 변환은 시간 도메인의 신호를 주파수 도메인으로 변환하는데 사용되며, 이는 주파수 성분을 분석하는 데 매우 유용합니다. QFT는 이를 양자 상태에 적용하여 동일한 목적을 달성합니다.

QFT의 수학적 정의

QFT는 $𝑁 = 2^{𝑛}$ 개의 상태를 가진 양자 레지스터에 대해 다음과 같이 정의됩니다:

∣ 𝑥 ⟩ \to \frac{1}{\sqrt{𝑁}} \sum_{𝑘 = 0}^{𝑁 - 1} 𝑒^{2 𝜋 𝑖 𝑥 𝑘 / 𝑁} ∣ 𝑘 ⟩

여기서 $∣ 𝑥 ⟩$ 는 입력 상태, $𝑁$ 은 상태의 총 개수(2^n), $𝑒^{2 𝜋 𝑖 𝑥 𝑘 / 𝑁}$ 는 복소수 지수 함수입니다.

QFT의 동작 방식

QFT는 주어진 입력 상태를 주파수 도메인으로 변환하는 일련의 양자 게이트로 구성됩니다. 다음은 QFT의 동작 과정을 단계별로 설명합니다:

1. 입력 상태 준비

먼저, $𝑛$ 개의 큐비트를 초기화하여 입력 상태 $∣ 𝑥 ⟩$ 를 준비합니다.

2. 하다마드 변환 적용

첫 번째 큐비트에 하다마드(Hadamard) 게이트를 적용하여 중첩 상태를 만듭니다. 하다마드 게이트는 다음과 같은 변환을 수행합니다:

∣ 0 ⟩ \to \frac{1}{\sqrt{2}} (∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩), ∣ 1 ⟩ \to \frac{1}{\sqrt{2}} (∣ 0 ⟩ - ∣ 1 ⟩)

3. 제어 회전 게이트 적용

그 다음, 나머지 큐비트에 제어 회전 게이트를 순차적으로 적용합니다. 제어 회전 게이트 $𝑅_{𝑘}$ 는 다음과 같이 정의됩니다:

𝑅_{𝑘} = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 𝑒^{2 𝜋 𝑖 / 2^{𝑘}} \end{array})

이를 통해 입력 상태의 각 큐비트가 다른 큐비트와 간섭하도록 합니다.

4. 큐비트 재배열

모든 큐비트에 대해 하다마드 게이트와 제어 회전 게이트를 적용한 후, 큐비트의 순서를 역순으로 재배열합니다. 이를 통해 최종적인 QFT 결과를 얻습니다.

QFT의 예시

간단한 예로, 2개의 큐비트를 가진 양자 상태 $∣ 𝑥 ⟩ = ∣ 01 ⟩$ 에 대해 QFT를 적용해 보겠습니다.

초기 상태: $∣ 01 ⟩$
하다마드 게이트 적용: 첫 번째 큐비트에 하다마드 게이트를 적용하면, 상태는 $\frac{1}{\sqrt{2}} (∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩)$
제어 회전 게이트 적용: 두 번째 큐비트에 제어 회전 게이트를 적용하여 간섭 상태를 만듭니다.
재배열: 최종적으로 큐비트 순서를 재배열하여 QFT 결과를 얻습니다.

이 과정을 통해 $∣ 01 ⟩$ 상태는 주파수 도메인에서 변환된 상태로 바뀝니다.

QFT의 응용

QFT는 다양한 양자 알고리즘에서 중요한 역할을 합니다. 주요 응용 예시는 다음과 같습니다:

쇼어 알고리즘: 큰 수의 소인수분해 문제를 해결하는 데 QFT가 핵심적으로 사용됩니다.
양자 위상 추정: 주어진 양자 상태의 위상을 정확하게 추정하는 데 사용됩니다.
양자 신호 처리: 주파수 도메인에서 양자 신호를 분석하고 처리하는 데 유용합니다.

결론

양자 푸리에 변환(QFT)은 양자 컴퓨팅에서 매우 중요한 알고리즘으로, 고전적인 푸리에 변환을 양자 상태에 적용하여 효율적인 변환을 수행합니다. QFT는 중첩, 간섭 등의 양자 특성을 활용하여 고전적인 방법보다 훨씬 빠르게 주파수 도메인 변환을 수행할 수 있습니다. 이를 통해 쇼어 알고리즘을 비롯한 다양한 양자 알고리즘에서 핵심적인 역할을 하며, 양자 컴퓨팅의 강력한 능력을 잘 보여줍니다. QFT의 원리와 응용을 이해함으로써 우리는 양자 컴퓨팅의 잠재력을 더욱 깊이 있게 이해할 수 있습니다.